Воспитывался матерью, дедушками и бабушками. Своего отца, яхтсмена Бориса Петровича Дмитриева, по его словам, помнил плохо, поскольку родители расстались вскоре после его рождения.

Праправнук Анны Павловны Шерер, фрейлины императрицы Марии Фёдоровны.

Мать Елена Ильинична Таубер, еврейка, была балериной, работала в мюзик-холле у Касьяна Голейзовского, а также в балете Свердловска и цирке — выступала в шоу-аттракционе «Лошади и танцовщицы»; преподавала историко-бытовой танец в Пермском хореографическом училище. Цирк стал для Игоря одним из самых ярких впечатлений детства. Другим серьёзным увлечением стал театр. В семь лет начал выступать в школьной самодеятельности и в Ансамбле песни и пляски ленинградского Дворца пионеров, которым руководил Исаак Дунаевский.

С началом Великой Отечественной войны семья эвакуировалась в Молотовскую область в посёлок Нижняя Курья. В Клубе речников Дмитриев читал стихи, пел, танцевал и принимал участие в концертах в военных госпиталях перед ранеными.

В 1943 году Дмитриев узнал, что при Пермском драматическом театре открывается театральная студия, и отправился туда на прослушивание. Для экзамена читал сцены из лермонтовского «Маскарада» и за Арбенина и, ввиду отсутствия партнёрши, за Нину.

Вскоре принял окончательное решение поступать в театральный. Подал заявления сразу в несколько институтов. Во ВГИК и Вахтанговскую школу не был принят, был принят в Малый театр и ГИТИС. Поступил также в Школу-студию МХАТ.

В 1948 году Игорь Дмитриев окончил Школу-студию МХАТ и отправился в родной Ленинград, где у него оставалась пустующая квартира, которую бабушка сохраняла всю блокаду. Там Дмитриев поступил в Ленинградский драматический театр имени В. Ф. Комиссаржевской, из которого был уволен в 1967 году

Награждён орденом Почёта (1997).

Похоронен на Серафимовском кладбище Санкт-Петербурга.