Родился в семье красноармейца Семёна Геронимовича Гордановского, поляка по происхождению, прошедшего четыре войны, ставшего после австрийского плена в Первую мировую войну Антоном Михайловичем Быковым, и Эллы Матусовны Ситняковской (1904—1996), еврейки, несостоявшейся актрисы, увлекавшейся литературой и искусством. Родители вскоре расстались, у отца появилась новая семья, и оба сына воспитывались матерью.

В 1937—1941 годах учился в московской средней школе № 579. С 1939 года занимался в театральной студии «Родник» Городского дома пионеров. С началом Великой Отечественной войны его, мать и брата эвакуировали в Йошкар-Олу; отец ушёл добровольцем на фронт. В 1941—1943 годах учился в йошкар-олинской средней школе № 6, затем семья вернулась в Москву, и до 1947 года Быков учился в средней школе № 525.

В 1947 году поступил в Высшее театральное училище имени Б. В. Щукина, актёрский курс Веры Львовой и Леонида Шихматова. Параллельно в 1949—1950 годах руководил драматическим коллективом Московского завода «Сангигиена». Защитился в 1951 году.

В 1951—1959 годах служил актёром и режиссёром Московского театра юного зрителя. Одновременно был актёром Московского драматического театра (1951—1952), руководил театральной студией Бауманского Дома культуры (1951—1953), работал внештатным корреспондентом детской редакции Центрального телевидения и редактором сатиры и юмора Радиокомитета Москвы (1953—1959). С 1957 по 1959 год он также выступил как организатор и главный режиссёр Студенческого театра МГУ.

В 1959—1960 годах являлся главным режиссёром Ленинградского театра им. Ленинского комсомола, однако вскоре решил полностью посвятить себя кино.

На протяжении последующих 30 лет Быков работал на киностудии «Мосфильм». Сыграл более ста ролей. Обладая широким актёрским диапазоном, особенно прославился как яркий характерный комедийный актёр. В качестве режиссёра поставил порядка десяти фильмов для детей и юношества, часто экспериментируя с жанрами и техническими приёмами, за что нередко подвергался критике.

В 1986—1990 годах служил секретарём обновлённого Союза кинематографистов СССР. Являлся академиком Российской академии кинематографических искусств «Ника» и членом административного совета Генеральной ассамблеи по проблемам детского и юношеского кино при ЮНЕСКО.

Помимо кино занимался преподавательской деятельностью на Высших курсах сценаристов и режиссёров: руководил производственной практикой, читал лекции по кинорежиссуре,, в 1987—1989 гг. был руководителем мастерской режиссёров игрового кино.

Возглавлял Внепартийное общественно-политическое Движение 95 - Союз общественных организаций работников культуры, науки, образования и экологии. Был президентом банка «Хэлп».

Заслуженный артист РСФСР (1973).

Народный артист РСФСР (1987)
.
Народный артист СССР (1990).

Лауреат Государственной премии СССР (1986).

Скончался от рака лёгких. Похоронен на Новодевичьем кладбище (участок № 10).