Актер родился в канадской провинции Квебек, в городке Руэн-Норанда. Мать Мэри Сильвия работала медсестрой, а отец Хью Джон занимался геофизикой. У артиста есть две младшие сестры, Келли и Линн. Поначалу семья часто переезжала с места на место, успев пожить в разных городах США, Канады и Европы, но, когда глава семьи получил профессорскую кафедру в университете Британской Колумбии, осела в Ванкувере.

В этом городе Брюс поступил в вуз, где работал отец. В качестве специализации парень выбрал экономические и философские науки. Однако параллельно с учебой молодой человек стал заниматься театром, в итоге пополнив труппу Театра Ванкувера.

Чувствуя недостаток профессионализма, Гринвуд решил отправиться на обучение в Королевскую центральную школу сценической речи и драматического искусства в Лондоне, для чего стал алмазодобытчиком на северо-западных территориях. Но учебу так и не окончил и за год до конца курса отправился в путешествие по Греции, где работал на парусной лодке.

Вернувшись из Европы, Брюс переехал в США, где 1980–1981 годах учился в Американской академии драматических искусств Нью-Йорка. К тому времени он уже получил первые роли в кино.

Брюс Гринвуд — левша.